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ÁLGEBRA
Em matemática, álgebra é o ramo que estuda a manipulação formal de equações, operações matemáticas, polinómios e estruturas algébricas. A álgebra é um dos principais ramos da matemática pura, juntamente com a geometria, topologia, análise, e Teoria dos números.
O termo álgebra, na verdade, compreende um espectro de diferentes ramos da matemática, cada um com suas especificidades. Na álgebra estudam-se várias áreas.
A álgebra elementar, que frequentemente faz parte do currículo no ensino secundário, introduz o conceito de variável representativa de números. Expressões usando estas variáveis são manipuladas usando as regras de operação aplicáveis a números, como a adição. Estes conceitos podem ser usados, por exemplo, na Resolução de equações. Por sua vez, a adição e a multiplicação podem ser generalizadas e as suas definições exactas conduzem a estruturas tais como os grupos, anéis e corpos, que são estudados na área da matemática intitulada álgebra abstrata.
Classificação
De uma forma geral pode-se organizar a álgebra como:
Geral
-
Álgebra universal
História
As origens da álgebra se encontram na antiga Babilônia, cujos matemáticos desenvolveram um sistema aritmético avançado, com o qual puderam fazer cálculos algébricos. Com esse sistema eles foram capazes de aplicar fórmulas e calcular soluções para incógnitas numa classe de problemas que, hoje, seriam resolvidos como equações lineares, equações quadráticas e equações indeterminadas.
Por outro lado, a maioria dos matemáticos egípcios desta era e a maioria dos matemáticos indianos, gregos e chineses do primeiro milénio a.C.normalmente resolviam estas equações por métodos geométricos, como descrito no Papiro Rhind, Sulba Sutras, Elementos de Euclides e Os Nove Capítulos da Arte Matemática. Os estudos geométricos dos gregos, consolidado nos Elementos, deram a base para a generalização de fórmulas, indo além da solução de problemas particulares para sistemasgerais para especificar e resolver equações.
O nome "álgebra" surgiu de um tratado escrito por Mohammed ben Musa, um matemático nascido por volta de 900 d.C. Seu trabalho intitulado Al-gjabr Wa'l-mocábala, ou O livro sumário sobre cálculos por transposição e redução é um trabalho extremamente didático e com o objetivo de ensinar soluções para os problemas matemáticos cotidianos de então. A palavra Al-jabr da qual álgebra foi derivada significa "reunião", "conexão" ou "complementação". A palavra Al-jabr significa, ao pé da letra, a reunião de partes quebradas. Foi traduzida para o latim quase quatro séculos depois, com o título Ludus Algebrae et Almucgrabalaeque.
Na data de 1140, Robert de Chester traduziu o título árabe para o latim, como Liber Algebrae et almucabala. No século XVI, é encontrado em inglês como Algiebar and Almachabel, e em várias outras formas, mas foi finalmente encurtado para Álgebra. As palavras significam "restauração e oposição". No Kholâsat Al-Hisâb ("Essência da Aritmética"), Behâ Eddin (cerca de 1600 d.C.) escreve: "o membro que é afetado por um sinal de menos será aumentado e o mesmo adicionado ao outro membro, isto sendo álgebra; os termoshomogêneos e iguais serão então cancelados, isto sendo al-muqâbala". Os mouros levaram a palavra al-jabr para a Espanha, um algebrista sendo um restaurador ou alguém que conserta ossos quebrados. Por isso, Miguel de Cervantes em Dom Quixote (II, cap. 15) é feita menção a "um algebrista que atendeu ao infeliz Sansão". Em certo tempo não era raro ver sobre a entrada de uma barbearia as palavras "Algebrista y Sangrador" (Smith, Vol. 2, páginas 389-90).
O uso mais antigo da palavra álgebra no inglês em seu sentido matemático foi por Robert Recorde no The Pathwaie to Knowledge ("O Caminho para o Conhecimento") em 1551: "também a regra da falsa posição, que traz exemplos não somente comuns, mas alguns pertinentes à regra da Álgebra".
"Álgebras" (no plural) aparece em 1849 no Trigonometry and Double Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan:
É mais importante que o estudante tenha em mente que, com uma exceção, nenhuma palavra ou sinal de aritmética ou álgebra tem um átomo de significado ao longo deste capítulo, cujo objeto são os símbolos, e suas leis de combinação, dando uma álgebra simbólica (página 92) a qual pode daqui em diante se tornar a gramática de cem álgebras significativas e distintas. [Coleção de Matemática Histórica da Universidade de Michigan].
A expressão "uma álgebra" também é encontrada em 1849 no Trigonometry and Double Algebra ("Trigonometria e Dupla Álgebra") de Augustus de Morgan:
A linguagem ordinária tem métodos de assinalamento instantâneo de significado a termos contraditórios: e assim ela tem analogias mais fortes com uma álgebra (se houvesse uma tal coisa) na qual estão pré-organizadas regras para explicar novos símbolos contraditórios à medida que surgem, do que em uma [álgebra] na qual uma única instância deles demanda uma imediata revisão de todo o dicionário. [Coleção de Matemática Histórica da Universidade de Michigan].
Começou a ser usada na Europa para designar os sistemas de equações com uma ou mais incógnitas a partir do século XI.
Notação algébrica
A notação algébrica utilizada hoje normalmente por nós começou com François Viète e foi configurada na forma atual por René Descartes.
Antes disso, os processos para achar as raízes de equações dos babilônios, gregos, hindus, árabes e mesmo dos algebristas italianos do século XV eram formulados com palavras e às vezes até com versos (Índia).
Viète adotou vogais para representar as variáveis e incógnitas, e consoantes para representar as constantes. Atualmente, constantes são representadas pelas primeiras letras do alfabeto e variáveis pelas finais (principalmente, mas não exclusivamente, x).
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Álgebra elementar
é uma forma fundamental e relativamente básica da álgebra, ensinada a quem presume-se ter pouco ou nenhum conhecimento formal de matemática além da aritmética. A maior diferença entre a álgebra e a aritmética é a inclusão de variáveis. Enquanto na aritmética usa-se apenas os números e suas operações (como +, −, ×, ÷), na álgebra também se usam variáveis tais como x e y, ou a e b em vez de números.
Características da álgebra
Variáveis
Uma variável é uma letra ou símbolo que se utiliza para representar números. O objetivo de do uso de variáveis é permitir generalizações em matemática. Isso é útil porque:
Permite que equações (e desigualdades) aritméticas sejam formuladas como leis (como em para todo a e b), e como tal é o primeiro passo para o estudo sistemático das propriedades dos números reais;
Permite a referência a números que não são conhecidos. No contexto de um problema, uma variável pode representar um determinado valor que ainda é desconhecido, mas que pode ser encontrado através da formulação e manipulação de equações;
Permite a exploração de relações matemáticas entre quantidades (como em "se você vender x ingressos, então seu lucro será reais").
Esses são os três enfoques da álgebra elementar, o que a distingue da álgebra abstrata, um tópico mais avançado geralmente ensinado a estudantes do ensino superior.
Expressões
Em álgebra elementar, uma expressão pode conter números, variáveis e operações aritméticas. Esses são usualmente escritos (por convenção) com termos 'de maior potência' à esquerda (ver polinômios); alguns exemplos:
Em álgebra mais avançada, uma expressão pode incluir também funções elementares.
Operações
Propriedades das operações
Equações
Uma "equação" é a afirmação que duas expressões são iguais e permanecem iguais. Algumas equações são verdadeiras para todos os valores das variáveis envolvidas (como em a + b = b + a); essas equações são chamadas "identidades". Outras equações são verdadeiras somente para alguns valores das variáveis envolvidas: x2 -1 = 4. Os valores das variáveis que fazem a equação verdadeira são chamados as "soluções" ou "raízes" da equação.
