TRIGONOMETRIA

Trigonometria (do grego trigōnon "triângulo" + metron "medida") é um ramo da matemática que estuda as relações entre os comprimentos de 2 lados de um triângulo retângulo (triângulo onde um dos ângulos mede 90 graus), para diferentes valores de um dos seus ângulos agudos. A abordagem da trigonometria penetra outros campos da geometria, como o estudo de esferas usando a trigonometria esférica.

A trigonometria tem aplicações importantes em vários ramos, tanto como na matemática pura, quanto na matemática aplicada e, consequentemente, nas ciências naturais.

Foram os babilónios os primeiros a usá-la.

Índice

1 Círculo trigonométrico

1.1 Seno

1.2 Cosseno

1.3 Tangente

2 Relações

3 Teorema de Pitágoras

4 Aplicações da trigonometria

5 Identidades trigonométricas

5.1 Identidades triangulares

5.1.1 Lei dos senos

5.1.2 Lei dos cossenos

5.1.3 Lei das tangentes

5.2 Como saber o ângulo interno de um triângulo retângulo

Círculo trigonométrico

A Trigonometria (trigono: triângulo e metria: medidas) é o ramo da Matemática que estuda a proporção, fixa, entre os comprimentos dos lados de um triângulo retângulo, para os diversos valores de um dos seus ângulos agudos. (Entre estes ângulos, os de 30º, 45º e 60º são denominados ângulos notáveis.) As proporções entre os 3 lados dos triângulos retângulos são denominadas de seno, cosseno, tangente, cotangente, entre várias outras, dependendo dos lados considerados na proporção.

Já o Círculo Trigonométrico é um recurso criado para facilitar a visualização destas proporções entre os lados dos triângulos retângulos. Ele consiste em uma circunferência orientada de raio unitário, centrada na origem dos 2 eixos de um plano cartesiano ortogonal, ou seja, um plano definido por duas retas perpendiculares entre si, ambas com o valor 0 (zero) no ponto onde elas se cortam. Existem dois sentidos de marcação dos arcos no círculo: o sentido positivo, chamado de anti-horário, que se dá a partir da origem dos arcos até o lado terminal do ângulo correspondente ao arco; e o sentido negativo, ou horário, que se dá no sentido contrário ao anterior.

Seno

Dado um triângulo retângulo, o seno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o seno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo vertical.

Como o seno é esta projeção e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,-1\leq \operatorname {sen} (x)\leq 1,} \forall x\in {\mathbb {R}},-1\leq \operatorname {sen}(x)\leq 1, ou seja, a imagem do seno é o intervalo fechado {\displaystyle.}.

Cosseno

Dado um triângulo retângulo, o cosseno de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto adjacente a este ângulo e o comprimento da hipotenusa, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o cosseno de um ângulo qualquer pode ser visualizado na projeção do seu raio (por definição igual a 1) sobre o eixo horizontal.

Como o cosseno é esta projeção, e o raio do círculo trigonométrico é igual a 1, segue que, {\displaystyle \forall x\in \mathbb {R} ,-1\leq \operatorname {cos} (x)\leq 1,} \forall x\in\mathbb{R},-1\leq\operatorname{cos}(x)\leq1, ou seja, a imagem do cosseno é o intervalo fechado {\displaystyle.

Tangente

Dado um triângulo retângulo, a tangente de um dos seus 2 ângulos agudos é a razão entre o comprimento do cateto oposto a este ângulo e o comprimento do cateto adjacente a ele, calculada, como toda razão, pela divisão de um valor pelo outro, a referência da razão.

No círculo trigonométrico, o valor da tangente de um ângulo qualquer pode ser visualizado na reta vertical que tangencia este círculo no ponto em que ele corta o eixo horizontal do lado direito. Nesta reta tangente ao círculo trigonométrico, o valor da tangente trigonométrica de qualquer ângulo é representado pelo segmento que vai do ponto em que ela corta o eixo horizontal até o ponto em que ela corta a reta que contém o raio do círculo trigonométrico para o ângulo considerado. Para avaliar este valor, deve-se compará-lo com o raio do círculo trigonométrico que, por definição, é igual a 1, de preferência quando este raio se encontra sobre a parte superior do eixo ortogonal vertical. Observe que, enquanto o seno e o cosseno são sempre menores do que o raio do círculo trigonométrico e, portanto, menores do que 1, a tangente trigonométrica pode ser tanto menor quanto maior do que 1.

Relações

Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais. O fato crucial sobre triângulos semelhantes é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes maior que o lado do triângulo similar, então o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.

Usando estes fatos, definem-se as funções trigonométricas, começando pelos triângulos retângulos (triângulos com um ângulo reto 90 graus ou π/2 radianos). O maior lado em um triângulo qualquer é sempre o lado oposto ao maior ângulo e devido a soma dos ângulos de um triângulo ser 180 graus ou π radianos, o maior ângulo em um triângulo retângulo é o ângulo reto. O maior lado nesse triângulo, consequentemente, é o lado oposto ao ângulo reto, chamado de hipotenusa e os demais lados são chamados de catetos.

Razões trogonométricas

As razões (ou relações) trigonométricas estão relacionadas com os ângulos de um triângulo retângulo. As principais são: o seno, o cosseno e a tangente.

As relações trigonométricas são resultado da divisão entre as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, e por isso são chamadas de razões.

Razões Trigonométricas no Triângulo Retângulo

O triângulo retângulo recebe esse nome pois apresenta um ângulo chamado de reto, que possui o valor de 90°.

Os outros ângulos do triângulo retângulo são menores que 90°, chamados de ângulos agudos. A soma dos ângulos internos é de 180°.

Triângulo Retângulo

Observe que os ângulos agudos de um triângulo retângulo são chamados de complementares. Ou seja, se um deles tem medida x, o outro terá a medida (90°- x).

Lados do Triângulo Retângulo: Hipotenusa e Catetos

Antes de mais nada, temos que saber que no triângulo retângulo, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto e o maior lado do triângulo. Já os catetos são os lados adjacentes e que formam o ângulo de 90°.

Note que dependendo dos lados de referência ao ângulo, temos o cateto oposto e o cateto adjacente.

Feita essa observação, as razões trigonométricas no triângulo retângulo são:

Vale lembrar que pelo conhecimento de um ângulo agudo e a medida de um dos lados de um triângulo retângulo, podemos descobrir o valor dos outros dois lados.

Ângulos Notáveis

Os chamados ângulos notáveis são os que surgem com maior frequência nos estudos de razões trigonométricas.

Veja a tabela abaixo com o valor dos ângulos de 30°; 45° e 60°:

Relações Trigonométricas 30° 45° 60°

Tabela Trigonométrica

A tabela trigonométrica apresenta os ângulos em graus e os valores decimais do seno, cosseno e tangente. Confira abaixo a tabela completa:

Aplicações práticas da trigonometria

A Trigonometria nasceu c. 300 AC entre os gregos, para resolver problemas de Astronomia Pura . Suas primeiras aplicações práticas ocorrem só com Ptolemaios 150 dC o qual, além de continuar aplicando-a nos estudos astronômicos, a usou para determinar a latitude e longitude de cidades e de outros pontos geográficos em seus mapas.

Do mundo grego, a Trigonometria passou, c. 400 dC, para a India onde era usada nos cálculos astrológicos ( ainda eram problemas de Astronomia ). Por cerca de 800 dC ela chega ao mundo islâmico, onde foi muito desenvolvida e aplicada na Astronomia e Cartografia. Por cerca de 1 100 dC a Trigonometria chegou, junto com os livros de Ptolemaios, na Europa Cristâ. Aí, inicialmente estudada tão somente por suas aplicações na Astronomia, com os portugueses da Escola de Sagres encontra uma aplicação de enorme valor econômico na navegação oceânica.

As aplicações da Trigonometria até c. 1 600 dC :

Astronomia
Cartografia
Navegação Oceânica

Todas essas aplicações tratavam de problemas de Trigonometria Esférica e nada tinham a ver com problemas de agrimensura ou topografia. É também importante se observar que, por c. 1600 dC, a Trigonometria estava num estágio bastante desenvolvido, em muito ultrapassando o que é hoje ensinado no segundo grau. Como a grande maioria dos livros insiste em querer colocar a origem e desenvolvimento da Trigonometria nos problemas de cálculo de distâncias entre pontos sobre a superfície da Terra, vejamos exemplos de como os agrimensores e topógrafos do passado resolviam seus problemas. Suas técnicas eram baseadas no uso da semelhança de triângulos.

Geodésia: c. 1 600

A fim de obter coordenadas dos pontos de uma região na superfície da Terra, Snell, que é mais conhecido pela lei da refração, introduziu a idéia de triangulação. Essa consiste no seguinte:

cobrimos a região com uma cadeia de triângulos de vértices A, B, C, etc escolhidos de modo que cada um, C por exemplo, seja visível desde os dois precedentes ( A e B no exemplo ) e dos dois seguintes ( D e E no exemplo). Tipicamente esses vértices são escolhidos em topos de montanhas, torres de igrejas e outros pontos de fácil visualização.
medimos com exatidão o comprimento do lado AB, que é chamado base e que preferivelmente deve estar sobre um terreno plano para facilitar as medidas
medimos todos os ângulos dos triângulos da cadeia
a partir da lei dos senos e da base e ângulos medidos, calculamos o comprimento de todos os lados dos triângulos da cadeia
usando-se Astronomia, calculamos as coordenadas ( latitude e longitude ) de um dos vértices e medimos o ângulo ( chamado azimute ) que um dos lados faz com a direção norte. Com todas essas informações, calculamos as coordenadas dos demais vértices.

Se a região tiver um diâmetro de até cerca de 20 Km, podemos considerar os triângulos da cadeia como planos, e dizemos que temos uma triangulação topográfica. Para regiões maiores precisamos levar em conta a esfericidade da Terra, tratando os triângulos da cadeia como triângulos esféricos e dizemos que temos uma triangulação geodésica. Esses dois tipos de triangulações são os usados, respectivamente, pela Topografia e Geodésia.

Foi só a partir de cerca de 1 750 que começou a se tornar coisa comum se usar triangulações geodésicas para a feitura de mapas de municípios, estados a até continentes, e a se usar as triangulações topográficas para o mapeamento de áreas menores (diâmetro menor do que 20 Km). Até então o uso das triangulações se restringia a trabalhos de natureza mais científica do que técnica. Com efeito, os primeiros usos das triangulações ocorreu na determinação do comprimento de um arco de meridiano para assim obter o tamanho da Terra.
A primeira dessas medidas de meridiano foi feita pelo próprio Snell, o qual usou uma pequena modificação da versão clássica de triangulação, descrita acima. Expliquemô-la com o exemplo da figura ao lado, que usa uma cadeia de 7 triângulos :

A base é AB e CD é o lado do qual medimos o azimute. Após calcular os lados dos triângulos da cadeia, um novo uso de Trigonometria Esférica nos dá o comprimento das projeções desses lados sobre o meridiano e isso nos permite obter o comprimento do arco xy em Km. Tendo determinado a latitude dos vértices extremos, A e I, temos a amplitude de xy em graus. Daí, um cálculo simples nos dá quantos Km mede um arco de um grau na superfície terrestre e então a circunferência da Terra.

Snell usou uma cadeia de 33 triângulos e acabou fazendo um erro de 3.4%, para menos. Em 1 669, Picard usou uma cadeia de 13 triângulos para refazer a medida do meridiano. Obteve para diâmetro da Terra 12 554 Km, o que dá erro de 1.6%.

Geodésia por Gauss: c. 1 820

O século dos 1 700 foi o século do grande desenvolvimento da Trigonometria em ordem a viabilizar e facilitar os cálculos de triangulações topográficas e geodésicas. Contudo, as técnicas aí desenvolvidas não tinham condições de atenuar o efeito dos inevitáveis erros de medida, o que acabava comprometendo a qualidade dos mapas de maior tamanho.
A introdução do tratamento dos erros de observação na Geodésia e na Topografia, aumentando em muito a exatidão do trabalho dessas disciplinas, só ocorreu com o famoso matemático Gauss c. 1 820. A maioria das pessoas o conhecem como matemático puro e desconhecem que ganhava seu sustento como matemático aplicado.
No início do século passado, durante as guerras napoleônicas, Gauss foi ordenado por Napoleão a fazer um mapa de grande precisão da região de Hannover, Alemanha. Para levar a cabo sua missão, Gauss acabou desenvolvendo uma série de resultados matemáticos ( teoremas sobre a distribuição normal ou gaussiana, o método da regressão linear, etc ) para poder controlar o efeito dos erros de observação nos levantamentos geodésicos, bem como renovou ( com cuidados relevantes às necessidades de alta exatidão em Geodésia ) as técnicas de resolução dos triângulos e os métodos geodésicos tradicionais. Por exemplo, boa parte da determinação das coordenadas geográficas de marcos do interior do Brasil, pelo Serviço Geográfico do Exército, foram feitas usando o Método de Cálculo da Latitude de Gauss.

Identidade trigonométrica

Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil sempre que expressões que contêm expressões trigonométricas devam ser simplificadas, ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais útil para dada aplicação. Uma importante aplicação, exemplo notável da técnica de substituição, é a integração de funções não-trigonométricas: um recurso comum envolve primeiro usar a integração por substituição com uma função trigonométrica e então simplificar a integral resultante com uma identidade trigonométrica.

Tabela de Trigonometria da Cyclopaedia (1728)